26 мая 2019, воскресенье, 14:10
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.Дзен

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

23 марта 2019, 19:30

Большой роман о математике

книга Микаэля Лонэ
книга Микаэля Лонэ
ЭКСМО
 
 

На русском языке вышла книга Микаэля Лонэ «Большой роман о математике». В ней показано как на каждом этапе истории человечества развивались математические знания, возникали новые понятия, теоремы и целые направления математической науки. Рассказ начинается с обсуждения симметрии первых каменных орудий и узоров на древней керамике и завершается рассказами об аксиоматических основах теории множеств, теореме Гёделя о неполноте и множестве Мандельброта. 

Автор книги Микаэль Лонэ в 2012 году защитил диссертацию по теории вероятностей в Университете Экс – Марсель. С 2007 года он начал публиковать популярные заметки о математике на сайте MicMaths, а с 2012 году открыл свой канал на YouTube. Его самый популярный ролик «Скрытая сторона таблицы умножения» пользователи посмотрели более 2,7 миллиона раз. Микаэль Лонэ также проводит многочисленные семинары в сотрудничестве с ассоциацией «Открытая наука» (Science Ouverte) и Международным комитетом математических игр (Comité international des jeux mathématiques).

Книга Микаэля Лонэ «Большой роман о математике», изданная во Франции в 2016 году, была впоследствии переведена на испанский, английский, польский, корейский, португальский и немецкий языки. В 2017 году она получила ежегодную премию, присуждаемую математическим журналом Tangente, а в 2018 году Микаэль Лонэ за вклад в популяризацию математики стал лауреатом премии Д’Аламбера Математического общества Франции.

С разрешения издательства мы публикуем фрагмент из главы книги, посвященной бесконечно малым величинам.

 

Одна из первых идей, как определить бесконечно малый интервал, предлагала выбрать в качестве него точку. Еще Евклид определил точку как наименьший геометрический элемент. При длине, равной 0, точка бесконечно мала. К сожалению, эта идея, такая простая в понимании, не может быть взята за основу. Для того чтобы понять это, посмотрите на этот отрезок, длина которого обозначена как 1.

 

Этот отрезок состоит из бесконечного числа точек, каждая из которых имеет длину, равную 0. Так, можно сказать, что длина отрезка равна бесконечному количеству нулей! На алгебраическом языке это можно записать, как ∞ × 0 = 1, где ∞ обозначает бесконечность. Проблема этого вывода заключается в том, что если мы теперь рассмотрим отрезок, длина которого равна 2, то получится, что она тоже состоит из бесконечного числа точек, что в этот раз соответствует равенству ∞ × 0 = 2. Как может получиться так, что одинаковые расчеты приводят к двум различным результатам? Так, изменяя длину отрезка, мы можем также рассчитать, что произведение ∞ × 0 равно 3, 1000 или даже π!

Исходя из этого мы вынуждены сделать следующий вывод: используемые определения нуля и бесконечности в данном контексте недостаточно точны и не могут быть использованы в дальнейшем. Такие произведения как ∞ × 0, результат которых изменяется в зависимости от его интерпретации, называют неопределенной формой. Невозможно использовать эти формы в алгебраических вычислениях, так как мы сразу столкнемся с тысячами парадоксов! Если бы мы стали применять умножение ∞ × 0, то тем самым пришлось бы признать, что 1 равно 2 и т. д. Короче говоря, необходимо поступать иначе.

Сделаем вторую попытку. Если бесконечно малый интервал не может быть точкой, это может быть отрезок, ограниченный двумя точками, расположенными бесконечно близко друг к другу. Идея привлекательная, но мы снова сталкиваемся с проблемой, потому что таких отрезков не существует. Расстояние между двумя точками может быть сколь угодно малым, но всегда будет иметь положительную длину. Отрезки длиной в сантиметр, миллиметр, одну миллиардную миллиметра или даже меньше, конечно, очень малы, но ни в коем случае не бесконечно малы. Иными словами, две точки никогда не будут соприкасаться.

Есть что-то очень обескураживающее в этом заявлении. Когда вы рисуете непрерывную линию, например отрезок, в ней нет никаких промежутков, и тем не менее точки, которые составляют ее, не соприкасаются! Ни одна точка не соприкасается с другими. Отсутствие отверстий в линии является всего лишь следствием того, что она состоит из бесконечно малых точек. И если определять точки линии по их взаимосвязям, это же явление можно представить в алгебраической форме следующим образом: два различных числа никогда не идут подряд, всегда есть бесконечное множество других чисел, которые находятся между ними. Между числами 1 и 2 находится 1,5. Между числами 1 и 1,1 находится 1,05.

А между числами 1 и 1,0001 есть 1,00005. Так можно продолжать до бесконечности. С числом 1, как и со всеми другими, не «соприкасаются» другие числа. Однако бесконечная совокупность бóльших и меньших чисел обеспечивает непрерывность последовательности.

После двух неудачных попыток нам приходится признать, что во множестве классических чисел по определению невозможно выделить бесконечно малые величины. Эти неуловимые числа не могут быть приравнены к нулю и также меньше всех существующих положительных чисел, поэтому придется отдельно описывать их с самого начала! Над этим работали Лейбниц и ученые, которые последовали его примеру в исчисления бесконечно малых величин. Потребовалось три столетия для того, чтобы сформулировать правила расчета, которые применяются к этим новым числам, и определить сферу их действия. Таким образом, с XVII по XX в. был разработан целый арсенал теорем, позволяющих эффективно решать задачи с бесконечно малыми величинами.

Числа, которые не существуют в действительности, тем не менее могут быть использованы в качестве промежуточного результата? Это вам ничего не напоминает? Так уже было с отрицательными и мнимыми числами. Но, как это часто бывает, процесс внедрения длится долго и не всегда можно предсказать исход. В 1960-е годы американский математик Абрахам Робинсон разработал новую модель, в которой бесконечно малые величины рассматривались как отдельная группа чисел. Тем не менее в отличие от мнимых чисел, бесконечно малые величины и сегодня, в начале XXI в., фактически не относят к действительным числам. Нестандартная модель анализа Робинсона вызывает множество противоречий и редко используется на практике.

Возможно, в будущем нас неизбежно ждут открытия, исследования, теоремы, созданные на основе этой нестандартной теории. А может быть, наоборот, у нее нет потенциала, чтобы стать доминирующей моделью, и бесконечно малые величины никогда не сравнятся по значимости со своими прославленными предшественниками — отрицательными и мнимыми числами. Нестандартный анализ, безусловно, интересен, но, возможно, несет в себе слишком мало пользы, чтобы продолжительное время поддерживать энтузиазм. Прошло всего несколько десятилетий с момента разработки Робинсоном своей модели, и математикам будущего еще предстоит решить ее судьбу.

Среди наиболее успешных разработок исчисления бесконечно малых величин можно выделить теорию меры, разработанную в начале XX в. французским математиком Анри Леоном Лебегом — одно из самых любопытных направлений. Возникает вопрос: можно ли с использованием бесконечно малых величин создать новые геометрические фигуры, которые нельзя нарисовать с помощью циркуля и линейки. Ответ: да, и эти новые фигуры будут созданы в течение нескольких лет в соответствии с законами классической геометрии. Возьмем, например, отрезок, размеченный от 0 до 10.

 

По аналогии с Декартовой системой координат, эта разметка позволяет соотнести точку на отрезке с любым числом от 0 до 10. На этом отрезке можно отдельно выделить точки, имеющие конечное десятичное значение (например, 0,1 или 7,28), и числа с бесконечным числом цифр после запятой (например, число π или число золотого сечения φ). Что произойдет, если мы разделим отрезок по этому принципу? Другими словами, если мы выделим темным цветом точки первой категории и светлым цветом — второй, как будут выглядеть темная и светлая геометрические фигуры соответственно?

Не так просто ответить на этот вопрос, потому что эти две категории чисел можно продолжать до бесконечности. Если взять даже самый малый диапазон чисел, то он всегда будет содержать как темные, так и светлые точки. Между двумя светлыми точками всегда есть по крайней мере одна темная, а между двумя темными точками всегда есть по крайней мере одна светлая. Две фигуры, таким образом, напоминают бесконечно тонкие нити, которые идеально связаны друг с другом.

 

Отрезок от 0 от 10 делится на две части: слева — имеющие конечное десятичное значение; справа — числа с бесконечным числом цифр после запятой

Представленное выше изображение, конечно же, неправильное. Это всего лишь грубая визуализация, и элементы, нарисованные очень мелко, на самом деле не бесконечно малы.

Невозможно точно изобразить фигуры, которые могут быть описаны только с помощью алгебры или рассуждений.

В связи с этим возникает вопрос: как измерить эти фигуры? Так, начальный отрезок имеет длину, равную 10. Должны ли две образующие его фигуры иметь одинаковую длину? Станет ли каждая из них иметь длину 5, или одна окажется больше другой? Ответ, который будет найден математиками, поистине удивителен.

Абсолютно вся длина занята фигурой, составленной из чисел с бесконечным количеством знаков после запятой. Фигура, состоящая из светлых точек, будет равна в совокупности 10, а фигура, состоящая из темных точек — 0. Хотя обе фигуры кажутся одинаковым образом переплетенными между собой, на выбранном отрезке бесконечно больше светлых точек, чем темных!

Используя систему координат Декарта, эти рассеянные фигуры могут быть представлены в двух или трехмерном пространстве. Например, мы можем представить совокупность точек в виде квадрата, координаты которого имеют бесконечное количество значений.

 

Еще раз обратим внимание, что это всего лишь грубое упрощение, которое дает только смутное представление о том, как может выглядеть бесконечное множество элементов.

Измерение рассеянных элементов приведет к одному из самых удивительных математических результатов: несмотря на все усилия математиков, занимающихся решением этой проблемы, некоторые из этих фигур будет невозможно измерить. Эта их особенность доказана в 1924 г. Стефаном Банахом и Альфредом Тарским, который обнаружил контрпример принципа мозаики.

Они нашли способ разделить шар на пять частей таким образом, чтобы потом можно было собрать из них два абсолютно таких же шара как первый без единого промежутка!

 

Пять полученных фигур представляют собой рассеянные фигуры с бесконечно малыми составляющими. Если бы полученные мозаичные части из примера Банаха — Тарского были измеримы, то сумма их объемов была бы одновременно равна как объему шара, из которого они были получены, так и объемам двух шаров, которые могут быть сформированы из них. Этот факт позволяет сделать следующий вывод: даже понятие объема теряет смысл в отношении подобных фигур.

На самом деле выводы Банаха и Тарского гораздо обширнее, так как они показывают, что если рассмотреть две классические геометрические фигуры в трех измерениях, то, разбив первую фигуру на определенное количество рассеянных частей, можно будет собрать аналогичную ей вторую фигуру. Можно, например, разделить на множество частей шар размером с горошину и собрать из них совокупность шаров размером с Солнце без единого промежутка! Описанное явление часто ошибочно называют парадоксом Банаха — Тарского из-за его кажущейся на первый взгляд нелогичности. Однако это не парадокс, а теорема, существование которой возможно благодаря свойствам рассеянных фигур, обеспечивающим логичность рассуждений и отсутствие противоречий!

Разумеется, разделение на бесконечное количество бесконечно малых частей на практике недостижимо. Рассеянные фигуры сегодня остаются в числе необычных математических явлений, не используемых на практике. Кто знает, наступит ли тот день, когда они начнут применяться для решения определенных задач?

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
«Ангара» Африка Византия Вселенная Гренландия ДНК Иерусалим КГИ Луна МГУ Марс Металлургия Монголия НАСА РБК РВК РГГУ РадиоАстрон Роскосмос Роспатент Росприроднадзор Русал СМИ Сингапур Солнце Юпитер акустика антибиотики античность археология архитектура астероиды астрофизика бактерии бедность библиотеки биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера викинги вирусы воспитание вулканология гаджеты генетика география геология геофизика геохимия гравитация грибы дельфины демография демократия дети динозавры животные землетрясение змеи зоопарк зрение изобретения иммунология импорт инновации интернет инфекции ислам исламизм исследования история карикатура картография католицизм кельты киты климатология комета кометы компаративистика космос культура лазер лексика лженаука лингвистика льготы мамонты математика материаловедение медицина метеориты микробиология микроорганизмы мифология млекопитающие мозг моллюски музеи насекомые наука нацпроекты неандертальцы нейробиология неолит обезьяны общество онкология открытия палеолит палеонтология память папирусы паразиты перевод питание планетология погода политика право приматы психиатрия психоанализ психология психофизиология птицы ракета растения религиоведение рептилии робототехника рыбы сердце смертность сон социология спутники старение старообрядцы стартапы статистика такси технологии тигры топливо торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология физика физиология фольклор химия христианство школа экология эпидемии эпидемиология этология язык Древний Египет Западная Африка Латинская Америка НПО «Энергомаш» Нобелевская премия РКК «Энергия» Российская империя Сергиев Посад альтернативная энергетика аутизм биология бозон Хиггса глобальное потепление грипп информационные технологии искусственный интеллект история искусства история цивилизаций исчезающие языки квантовая физика квантовые технологии компьютерная безопасность компьютерные технологии космический мусор криминалистика культурная антропология междисциплинарные исследования местное самоуправление мобильные приложения научный юмор облачные технологии обучение одаренные дети педагогика персональные данные подготовка космонавтов преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека русский язык сланцевая революция финансовый рынок черные дыры эволюция эмбриональное развитие этнические конфликты ядерная физика Вольное историческое общество жизнь вне Земли естественные и точные науки НПО им.Лавочкина Центр им.Хруничева История человека. История институтов Протон-М 3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM MERS PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129090, г. Москва, Проспект Мира, дом 19, стр.1, пом.1, ком.5
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2019.